Теоретичен материал. Pokhіdna неявни функции ї kílkokh zminnyh Формули за диференциране на неявно дадени функции

Познаваме подобни функции, които са дадени имплицитно, така че са дадени от равни равни, които се променят между тях хі г. Приложете функции, които са дадени имплицитно:

Pokhіdní funktsіy, zadakh имплицитно, но pokhіdní implicit funktsіy, лесно е да завършите. Веднага ще анализираме правилото и дупето и тогава ще разберем защо е необходимо.

За да се знае точната функция, дадена имплицитно, е необходимо да се диференцират нарушителните части на уравнението по x. Тези добавки, в някои присъстващи само x, се превръщат в страхотна pokhіdnoї funktsії vіks. И допълненията с гръцки трябва да се диференцират, като се прави кора с правилото за диференциация функция за сгъване. Още по-просто е, тогава може да се остави otrimanoї pokhіdnoї dodanku z xom: pokhіdna funcіі іn гръцки, умножена по pokhіdnu іnіt гръцки. Например, по-добре е да се регистрирате като dodanka, по-добре е да се регистрирате като dodanka. Освен това е необходимо да се използва "щрихът за гравиране" и ще бъде възможно да се премахне съответната функция, дадена имплицитно. Нека да разгледаме дупето.

пример 1.

Решение. Различно обидни части от подравняването по x, като се има предвид, че чакълът е функция на x:

Zvіdsi otrimuêmo pokhіdnu, тъй като е необходимо във фабриката:

Сега става въпрос за двусмислената сила на функциите, дадени имплицитно, и защо са ви необходими специални правила за тяхното диференциране. Някои от vipadkivs могат да бъдат преразгледани, така че заместването на задачата да е равно (div. Приложи повече) заместникът на гръцкия йог vyslovlyuvanny чрез iks, за да доведе до факта, че царят се изравнява в това. Така. подравняване на курсора на мишката имплицитно присвоява следните функции:

След заместването на гръцкия в квадрата през ix равенството се приема за същото:

Вирази, който си представяхме, изглеждаше като пътека за отприщване на равен на грък.

Yakby mi започна да разграничава отделна изрична функция

след това отнехме входа, както в приложение 1 - под формата на функция, дадена имплицитно:

Но не бъдете като функция, дадена имплицитно, можете да видите г = f(х) . Така например имплицитно присвоените функции

не минавайте през елементарни функции, за да не могат да се разнищват равни числа като грък. Ето защо правилото за диференциране на функция, която е дадена имплицитно, е същото, което вече научихме и даваме последователно в други приложения.

дупе 2.Познайте точната функция, дадена имплицитно:

Можем да видим чакъла и - на изхода - произволна функция, дадена имплицитно:

Пример 3.Познайте точната функция, дадена имплицитно:

Решение. Различно обидни части от изравняването на x iks:

Пример 4.Познайте точната функция, дадена имплицитно:

Решение. Различно обидни части от изравняването на x iks:

Оказва се, че ще го загубим:

Пример 5.Познайте точната функция, дадена имплицитно:

Решение. Прехвърля се на доданки в дясната част, равна в лявата част, а дясната се запълва с нула. Различно обидени части от равни с икса.

Pokhіdna сгъваема функция. Похидна

Нека z \u003d ƒ (x; y) - функцията на две променливи x и y, skin z от тях - функцията на независима променлива t: x \u003d x (t), y \u003d y (t). По този начин функцията z = f(x(t); y(t)) е сгъваема функция на една независима променлива t; промяна x и y - междинна промяна.

Ако z = ƒ(x; y) е диференцирана в точката M(x; y) є D функция і x = x(t) и y = y(t) е диференцирана функция на независима промяна t, тогава тя е подобна сгъваема функция z(t ) = f(x(t); y(t)) се изчисляват след формулата

Damo независима промяна t увеличение Δt. Същите функции х = = x(t) і y = y(t) изваждат увеличението Δх и Δу по разумен начин. Voni, с неговия дявол, извика zbіlshennya Az функции z.

Скалите за психичната функция z - ƒ(x; y) се диференцират в точката M(x; y),

de a→0, β→0 като Δх→0, Δу→0 (раздел. т. 44.3). Разделете viraz Δz на Δt и се придвижете до границата при Δt→0. Тогава Δх→0 і Δу→0 през непрекъснатостта на функциите x = x(t) і y = y(t) (зад интелектуалната теорема - вонята на диференциацията). Ние взимаме:

Частичен спад: z \u003d f (x; y), de y \u003d y (x), след това z \u003d f (x; y (x)) е сгъваема функция на една независима промяна x. Tsej vpadok води до предната част, освен това ролята на промяната е t graє x. Съгласно формула (44.8) е възможно:

Формула (44.9) е същата формула.

Общи впадки: z=ƒ(x; y), de x=x(u; v), y=y(u; v). Тогава z = f (x (u; v); y (u; v)) е сгъваема функция на независими промени u и v. Можете да знаете формулата на vicorist (44.8) по този начин. След като коригирахме v, ние го заменяме с n_y с частни

Несъмнено изображението на функцията е свързано с еквивалентността и сходството на една и съща линия - графиката на функцията. Например, - функционална угар, графика, която е квадратна парабола с връх на кочана от координати и права нагоре; - функцията на синуса, задвижван от неговите свирки.

В тези задници лявата част на еквивалентността има y, а дясната част има viraz, което трябва да се намира в аргумента x. В противен случай изглежда, може би равно, позволено е поне y. Виждането на такъв вираз се нарича явни дефиниции на функции(в противен случай функция в изричен изглед). Първият тип присвояване на функции е най-важен. За повечето приложения тази задача е да имаме най-очевидните функции. За разграничаването на функциите на една промяна, задачи по ясен начин, вече говорихме подробно.

Функцията обаче може да варира между неизменната стойност на стойността x и безличната стойност на y, освен това видимостта не се обв'язково вставлява, независимо дали е формула или аналитичен вирус. Tobto, isnuê безлични начини zavdannya funktsії, krim zvuchnogo.

В tsіy statti можем да видим неявни функции и начини за познаване на техните подобни. Как да прилагате функции, задачи имплицитно, можете да предизвикате или.

Както споменахте, имплицитната функция е присвоена на spivvіdnoshennia. Но не всички същите spіvvіdnoshennia mízh x и y задават функцията. Например само двойка номера на дните x и y не са изпълнени с равенство, следователно неявната функция не е зададена.

Можете имплицитно да зададете закона за валидност между стойностите x и y, освен това стойността на кожата на аргумента x може да бъде разпозната като единица (в който случай функцията може да бъде уникална) и стойността на функцията (в която случай, че функцията се нарича обогатена стойност). Например стойността x = 1 ще съответства на две валидни стойности y = 2 и y = -2 имплицитно дадени функции.

Далеч не е възможно да се доведе неявна функция до изрична, иначе не беше възможно да се разграничат самите неявни функции. Например, - не се трансформира в очевидна форма, а - трансформира.

Сега по дяволите.

За да се знае точно имплицитно зададената функция, е необходимо да се разграничат нарушителните части на равенството зад аргумента x, като се вземе предвид y - функцията на x и следващата вирусност.

Диференциацията на вируси, scho to míst x и y(x) , се извършва с различни правила за диференциация и правила за важността на подобни сгъваеми функции. Нека още веднъж докладваме за анализа на приложението, така че да не е възможно да питаме.

дупето.

Продиференцирайте вирази по x, като се вземе предвид функцията y като x.

Решение.

така як y е същата функция като x, тогава функцията е сгъваема. Можете да мислите за това като f(g(x)), където f е кубичната функция и g(x) = y. След формулата на подобна сгъваема функция може да бъде: .

Когато се диференцира друга вираза, константата се обвинява за знака на подобно и dimo като в предния наклон (тук f е функцията синус, g(x) = y):

За третата виразу формулата на подобна практика е фиксирана:

Последователно застояли правила, диференциращи останалата част от вируса:

Сега оста може да бъде навигирана до стойността на произволна имплицитно дефинирана функция, с всички познания за нея.

дупето.

Познайте трика на неявните функции.

Решение.

Pokhіdna имплицитно дадени функции винаги се представят като вирус за отмъщение x i y : . За да постигнете такъв резултат, продиференцирайте нарушението на част от спокойствието:

Допустимо е да се отнеме нещо като добро:

Внушение:

УВАЖЕНИЕ.

За фиксиране на материала се нуждаем от още един задник.

Функцията Z= f(x; y) се нарича неявна, защото е присвоена на F(x, y, z)=0 чрез недопустим метод Z. Знаем, че частните функции Z са присвоени неявно. За което, замествайки функцията Z f (x; y) в уравнението, ние приемаме идентичността F (x, y, f (x, y)) = 0.

F(x, y, f(x, y)) =
=0

F(x, y, f(x, y)) =
=0 (x е важно)

Звезди
і

Задник: Познаване на личните функции на дадено ниво
.

Тук F(x, y, z) =
;
;
;
. Зад формулите можем да видим още:

Продължете право напред

Нека функцията на две променливи Z = f (x; y) е дадена в близост до t.M (x, y). Може да се види, че е право напред, което е обозначено с един вектор
, де
(разд. малък).

На права линия, за да преминете по тази права през t. m. вземете t. m 1 (
) така че какво dozhina
ММ 1 врата
. Увеличението на функцията f(M) се дължи на
po'yazanі spіvvіdshennyam. Mezha vídnosyn при
ще се нарича подобна функция
в точката
направо бъда назначен .

Как се диференцира функцията Z в точка
, тогава я zbіlshennya в thіy точка z
може да бъде написано в обидна форма.

сипене на обиди

минавам до границата с
отнемаме формулата за подобна функция Z \u003d f (x; y) за права линия:

Градиент

Нека да разгледаме функцията на трите
какво е разграничаващото в действителната точка
.

Функционален градиент
точката M се нарича вектор, чиито координати са равни по същия начин
в този момент. За да дефинирате градиента, използвайте символа
.
=
.

. Градиентът показва директно най-очевидния растеж на функцията в тази точка.

Oskilki единичен вектор може да координира (
), тогава функциите на три различни се записват, сякаш са били. maє скаларно създаване на формула. і
. Нека пренапишем останалата част от формулата по този начин:

, де - Кут миж вектор і
. Оскилки
, тогава трябва да е ясно, че подобна функция директно взема максималната стойност при =0, тогава. ако е направо vector_v і
избягал. С кого
.Така че всъщност градиентът на функцията характеризира директно и стойността на максималната гладкост на растежа на функцията в точката.

Екстремум на функция на две променливи

Концепцията за max, min, екстремума на функцията на две промени е подобна на концепцията за функцията на една промяна. Нека функцията Z = f (x; y) е приписана на реалната площ D и m.
легнете до центъра на камбуза. Крапка М
се нарича точка на функцията max Z= f(x; y), защото има такъв δ-пръстен на точката
, какво за кожата точка z ієї покрайнини
. Подобен ранг е точката min, само знак за неравномерност в нейната собствена промяна
. Стойността на функцията в точката max(min) се нарича максимум (минимум). Функциите максимум и минимум се наричат екстремуми.

Необходим и достатъчен ум крайността

Теорема:(Необходим ум крайността). Якшчо близо до точка М
функция, която диференцира Z= f(x; y) има максимален екстремум, тогава тя е частно подобна в точката, равна на нула:
,
.

Завършено:като фиксираме една от промените, връщаме Z= f(x; y) във функцията на една промяна, за екстремума на гореописания ум е виновен един. Геометрично равен
і
означава, че в точката на екстремума на функцията Z= f(x; y), площта е равна на повърхността, която представлява функцията f(x, y)=Z, успоредна на равнината OXY, тъй като изравняване на дотичната равнина є Z = Z0.
,
, се наричат стационарна точка на функцията. Функцията може да има екстремум в точките, поради което не е налично желание за една от частните подобни. Например Z=|-
| може да бъде максимум при O(0,0), но не и в друга точка.

Наричат се стационарни пунктове и пунктове, в които човек би искал да има едно лично място критични точки.В критични точки функцията може да има екстремум или да няма. Необходима е равнопоставеност на нулево частно избледняване, но не достатъчно интелектуално основание за екстремум. Например при Z = xy точката O (0,0) е критична. Функцията Z = xy обаче няма екстремум в себе си. (Тъй като през третата четвърт Z> 0, а през третата четвърт IV-Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема: (Достатъчно умствени крайности) Отидете до стационарната точка
и някои около функцията f(x; y) могат да бъдат без прекъсване частни промени до 2-ри ред включително. Нека изчислим в точката
значение
,
і
. Значително

По същото време
, екстремум в точка
може би, но може би не. Изисква допълнителни такси.

Очевидно функцията на една промяна е имплицитно дадена, както следва: функцията на независимата промяна x се нарича имплицитна, тъй като е зададена равна, не е позволено y:

дупе 1.11.

Ривняния

имплицитно задава две функции:

Равен

не задавайте едни и същи функции.

Теорема 1.2 (базис на неявна функция).

Нека функцията z \u003d f (x, y) и нейното частно произволно f "x и f" y са присвоени и без прекъсване в близост до UM0 на точката M0 (x0y0). В допълнение, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогава равно (1.33) дефинира неявна функция y= y(x) в близост до UM0, непрекъснато и диференцирана в реалния интервал D с централна точка x0, освен това y(x0)=y0.

Без потвърждение.

От теорема 1.2 следва, че на този интервал D:

tobto може да бъде същото според

de "povna" е добре да знаете (1.31)

Така (1.35) дава формулата за стойността на подобна имплицитно дадена функция на една променлива x.

По същия начин функцията на две или повече промени е имплицитна.

Например, както в региона deakіy V пространството на Oxyz е равно на победа:

тогава за някои мозъци на функцията F ние имплицитно задаваме функцията

С тази аналогия от (1.35)

дупе 1.12. Vvayayuchi, scho равен

имплицитно задайте функция

знам z "x, z" y.

Поради тази причина (1.37) имаме нужда от доказателства.

11. Избор на частни прилики в геометрията.

12. Екстремумни функции на две променливи.

Разбирането на максимума, минимума, екстремума на функцията на две променливи е подобно на понятията за функцията на една независима променлива (раздел. стр. 25.4).

Нека функцията z = ƒ(x;y) е приписана на реалното пространство D, точката N(x0;y0) Î D.

Точката (x0; y0) се нарича точка до максимума на функцията z = ƒ (x; y), защото има такъв d-пръстен на точката (x0; y0), който е за точката на кожата ( x; y), Ner_vnіst ƒ(x; y)<ƒ(хо;уо).

НО минималната точка на функцията е фино коригирана: всички точки (x; y), вътрешни точки (x0; y0), от d-средата на точката (xo; yo) неравномерността е фиксирана: ƒ(x; y) > ƒ(x0; y0).

На малката 210: N1 е точката до максимума, а N2 е точката до минимума на функцията z = f (x; y).

Стойността на функцията в точката до максимума (минимума) се нарича максимум (минимум) на функцията. Функциите максимум и минимум се наричат екстремуми.

Важно е, че екстремната точка на функцията се намира в средата на областта на функцията; максимумът и минимумът могат да имат локален (místseviy) характер: стойността на функцията в точката (x0; y0) е равна на стойностите в точките, достигайки тези, близки до (x0; y0). В област D функцията може да бъде майка на крайности или да не е майка.

46.2. Необходим и достатъчен ум крайността

Нека да разгледаме причината за екстремума на функцията.

Теорема 46.1 (задължителен екстремум). Как точки N (x0; y0) диференцирана функция z \u003d ƒ (x; y) има максимален екстремум, нейните частни роднини в qiy точки са равни на нула: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y ( x0; y0) = 0.

Коригираме една от промените. Да кажем, например, y = y0. След това отнемаме функцията ƒ(x; y0)=φ(x) на същата промяна, така че е възможен екстремум при x = x0. Също така, от необходимия интелектуален екстремум на функцията на една промяна (div. p. 25.4), φ "(x0) \u003d 0, тогава ƒ" x (x0; y0) \u003d 0.

По същия начин може да се покаже, че ƒ "y (x0; y0) \u003d 0.

Геометрично равен ƒ "x (x0; y0) \u003d 0 i ƒ "y (x0; y0) \u003d 0 означава, че в точката на екстремума на функцията z \u003d ƒ (x; y) равнината е равна на повърхността, която представлява функцията ƒ (x; y ), е успоредна на равнината Oxy, която е равна на дотичната равнина є z = z0 (див. формула (45.2)).

У етикет. Функцията може да има екстремум в точките, поради което не е налично желание за една от частните подобни. Например функция може да има максимум в точка O(0; 0) (div. Фиг. 211), но да няма максимум в точките на частни пропуски.

Точката, която има частна функция от първи ред z ≈ ƒ(x; y) е равна на нула, така че f "x=0, f" y=0, се нарича стационарна точка на функцията z.

Стационарните точки и точките, в които няма нужда от едно лично място, се наричат критични точки.

В критични точки функцията може да има екстремум или да няма. Необходима е равнопоставеност на нулево частно избледняване, но не достатъчно интелектуално основание за екстремум. Да разгледаме например функцията z = xy. За нея точката O (0; 0) е критична (y z "x \u003d y и z" y - x се обръщат към нула). Функцията z=xy обаче не може да има екстремум в нея, така че в малката околност на точката O(0; 0) има точки за всяко z>0 (точки I и III четвърти) и z< 0 (точки II и IV четвертей).

По този начин, за да се разпознае екстремума на функция в тази област, е необходимо да има кожна критична точка на функцията за допълнително проследяване.

Теорема 46.2 (достатъчна за екстремума на Умов). Отидете до стационарната точка (ho; yo) и до действителната й около функцията ƒ (x; y) може да бъде непрекъснато частно подобна на друг ред включително. Изчисляваме в точки (x0; y0) стойностите A \u003d f "" xx (x0; y0), B \u003d ƒ "" xy (x0; y0), C = ƒ "" yy (x0; y0 ). Значително

1. ако Δ > 0, тогава функцията ƒ(x; y) y точка (x0; y0) може да има екстремум: максимум, известен още като A< 0; минимум, если А > 0;

2. как Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

В моменти Δ = 0, екстремумът в точки (x0; y0) може или не. Изисква допълнителни такси.

ЗАДАЧИ

дупето.Познавайте пропуските в растежа и промяната във функцията. Решение.Първо Croc є значение за растежа на възложената функция. В задната част на вираза, при знаменосеца, по-късно може да се превърне в нула. Да преминем към следващата функция: За целите на promіzhkіv zrostannya че zmenshennya funktії за достатъчен знак vyrishuєmo nerіvієmі і на полето на назначаване. Бъдете бързи да използвате метода на интервалите. Единственият общ корен на книгата с номера е є х=2, а банерът се обръща на нула при х=0. Qi точките разделят областта на зададения интервал, за някои други функции те вземат знака. Значително qi точки на числовата ос. Плюсовете и минусите са психически значими интервали, за които е положителен и отрицателен. Стрелките в долната част схематично показват увеличението или промяната на функцията на даден интервал. по такъв начин, і . В точката х=2функцията е зададена и непрекъсната, към това е необходимо да се добави и увеличи интервалът и да се промени интервалът. В точката х=0функцията не е присвоена, така че тази точка не е включена в интервалите, които се шегуват. Чертаем графика на функцията за извличане на резултати от нея. Внушение:функцията расте при , променяйки се на интервала (0; 2] .